Image d'une suite convergente par une fonction continue

Propriété  (admise)

On considère une fonction  $f$ définie sur un intervalle  $I$ et une suite  $(u_n)$ d’éléments de $I$ .
Si  $f$ est continue sur  $I$ et si la suite  $(u_n)$ converge vers un réel $\ell$ de l'intervalle  $I$ , alors la suite $(f(u_n))$ converge vers $f(\ell )$ .

Remarque

Cette propriété permet de chercher la valeur de la limite d'une suite définie par une relation de récurrence du type $u_{n+1}=f(u_n)$ , où $f$  est une fonction continue. En effet, si on peut prouver que la suite $(u_n)$  converge vers $\ell$ , on peut alors, sous certaines conditions, affirmer que $\ell$  doit être une solution de l'équation $f(x)=x$ . Une solution de l'équation $f(x)=x$  est appelée un point fixe de la fonction $f$ .